Ayrık Matematik - Mantık - Belirteçler ve Nicelikler

Mantık konusunda yer alan bir takım önermeler üzerinden tahminler ve niceliklere değineceğiz.

4. Belirteçler ve Nicelikler

4.1 Belirteçler

Bir anlamda değişkenler olarakta bahsedebileceğimiz belirteçler, verilen değerlerin bir değişkene atandığı ve bu değişkenin sonucunun kontrol edildiği yerdir. Örnekler üzerinden daha iyi anlaşılabilir;

ÖRNEK

Bir Q(x)'i 2x > 10 olarak belirleyin ve Q(10) ve Q(2)'nin gerçek değerlerini bulun.

ÇÖZÜM

Q(10) = 2x10 > 10 => TRUE

Q(2) = 2x2 > 10 => FALSE

ÖRNEK

Bir P(x, y) fonksiyonunu 5x+14 = y olarak belirleyin ve P(1, 5) ve P(2, 24) fonksiyonlarının gerçek değerlerini bulun.

ÇÖZÜM

P(1, 5) = 5x1+14 = 5 => FALSE

P(2, 24) = 5x2+14 = 24 => TRUE

4.2 Nicelikler

Bir yüklemin doğruluk derecesini ifade etmektedir. Bunun için İngilizce olarak all, some, many, none ve few kelimeleri kullanılır.

Durum	Ne Zaman Doğru?	Ne Zaman Yanlış?
∀ x P(x)	Her x değeri P(x) fonksiyonunu sağladığı zaman	Herhangi bir x değeri P(x) fonksiyonunu sağlamadığı zaman
∃ x P(x)	Herhangi bir x değeri P(x) fonksiyonunu sağladığı zaman	Hiçbir x değeri P(x) fonksiyonunu sağlamadığı zaman

4.2.1 Evrensel Niceleyici ( ∀xP(x) )

Evrensel Niteleyici, P(x) fonksiyonunda yer alan her x değerini doğru olarak karşılayabilen niteleyicidir. ∀ ifadesi ile gösterilir. Üstteki tablodaki kuralları geçerlidir.

4.2.2 Varoluşçu Niceleyici( ∃xP(x) )

Varoluşçu Niteleyici, P(x) fonksiyonunda yer alan herhangi bir x değerini doğru olarak karşılayabilen niteleyicidir. ∃ ifadesi ile gösterilir. Üstteki tablodaki kuralları geçerlidir.

4.2.3 Teklik Niceleyici( ∃!xP(x) veya ∃1xP(x) )

Teklik Niteleyici, P(x) fonksiyonunda yer alan yalnızca bir x değerini karşılayabilen niteleyicidir. ∃! veya ∃1 ifadeleri ile gösterilir.

ÖRNEK

F(x) fonksiyonu x > x-1 ifadesini karşılamaktadır. ∀xF(x) ifadesinin doğruluğunu inceleyin ve açıklayın.

ÇÖZÜM

∀xF(x) doğrudur. Çünkü her sayı değeri kendisinden bir küçük olan değerden büyüktür.

ÖRNEK

F(x) fonksiyonu x+2 < 4 ifadesini karşılamaktadır. ∃xF(x) ifadesinin doğruluğunu inceleyin ve açıklayın.

ÇÖZÜM

∃xF(x) doğrudur. Çünkü x sayısını 0 kabul ettiğimizde ifade doğruyken x sayısını 5 kabul ettiğimizde ifade yanlış olacaktır. Bu sebeple bazı x değerleri için doğrudur.

ÖRNEK

F(x) fonksiyonu x² > 0 ifadesini karşılamaktadır. ∀xF(x) ifadesinin doğruluğunu inceleyin ve açıklayın.

ÇÖZÜM

∀xF(x) yanlıştır. Çünkü x sayısını 0 kabul ettiğimizde sonuç 0 olacak ve 0 > 0 olamayacağı için her x değeri için doğru kabul edemeyiz.

ÖRNEK

F(x) fonksiyonu x² = 4 ifadesini karşılamaktadır. ∃!xF(x) ifadesinin doğruluğunu inceleyin ve açıklayın.

ÇÖZÜM

∃!xF(x) yanlıştır. Çünkü x sayısını 2 veya -2 kabul edebiliriz. Yani x tek bir değere eşit olamaz. Bu sebeple tek bir x için doğru kabul edemeyiz.