23 MART 2017
CUMARTESİ
22.07
Ayrık Matematik - Mantık - Kanıtlama

Kanıtlama başlı başına mantık konusunu kapsamaktadır. Ortada bir olay vardır ve bu olayı kanıtlamak için mantık nesnelerine gideriz. Bu konuda kanıtları göreceğiz.

 

7. Kanıtlar

7.1 Doğrudan Kanıtlama

Doğrudan kanıtlama olaylarında elimizde bir p → q olduğunu varsayalım. Eğer p doğru ise q'nun da doğru olduğunu kabul edelim.

ÖRNEK

"Eğer x bir tek sayı ise x2 'de bir tek sayıdır." olayını kanıtlayın.

ÇÖZÜM

A(x) = x bir tek sayıdır.

B(x) = x2 bir tek sayıdır.

O zaman şu geçerlidir: ∀x ( A(x) → B(x) )

Eğer bu olayı kanıtlamamız gerekirse;

x = 2.m + 1 kabul edelim (m herhangi bir tam sayı).
x2 = (2.m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1

Bu sayede ulaştığımız alandaki 4m2 + 4m + 1 ifadesi ve 2m + 1 ifadesine hangi tam sayı değeri eklenirse eklensin sonuç her zaman tek sayı çıkacaktır.

7.2 Dolaylı Kanıtlama

Doğrudan kanıtlamanın zıttına eğer bir ifade  p → q oluyorsa, aynı ifadeyi  ¬p → ¬q olarakta yazabiliriz.

ÖRNEK

Eğer x2 < 0 ifadesi geçerliyse x < 0 olduğunu kanıtlayın.

ÇÖZÜM

Çözüm yolu aslında biraz kafa karıştırıcı gelebilir. Çünkü bir x2 ifadesinin negatif olamayacağı ortada. Lakin bunu zıt olarak kabul görebiliriz. Yani;

x2 >= 0 ise x >= 0

Bu şekilde gözlemlediğimizde sanırım taşlar yerine oturuyor. O halde soruya tekrar dönersek;

Eğer x >= 0 ise x2 >= 0

Eğer x = 0 ise x2 = 0

Eğer x > 0 ise x2 > 0

7.3 Çelişkinin İspatlanması

Elimizde bir su şişesi olduğunu düşünün ve su içiyorsunuz. Eğer elinizde su şişesi olmasaydı nasıl su içiyor olacaktınız? İşte bu bir çelişkidir. Var olan bir olayın var olmadığı varsayılarak sonuca gidilir ve ortaya çıkan çelişki gözler önüne serilir.

YORUMLAR 0
Bu konuya henüz kimse yorum yapmadı.
İlk yorumu sen yapmak ister misin?
YORUM BIRAK
Şuanda bu yoruma cevap yazıyorsunuz:
İptal Et