23 MART 2017
CUMARTESİ
16.31
Ayrık Matematik - Mantık - Mantıksal Eşdeğerlikler

Mantıksal eşdeğerlikler, devreler ile oluşturulabilecek veya doğruluk tabloları ile kanıtlanabilecek olan bir konudur. Verilen iki değerin birbirine eşdeğer olup olmadığını deneyebilirsiniz. Genellikle çok fazla devre kullanılan alanlarda bu devre sayısını azaltmaya yönelik olarak bu işlemler yapılmaktadır. Aynı sonuca ulaşan daha az sayıda devre elemanına sahip devreler tercih edilmektedir.

 

3. Önermesel Eşdeğerlikler

De Morgan Yasası

De Morgan, birbirine eşit olan 2 önerme keşfetmiştir. Bunlar;

  • değil (P ve Q) = (değil P) veya (değil Q)
  • değil (P veya Q) = (değil P) ve (değil Q)

veya daha anlaşılır bir şekilde ifade etmek gerekirse;

  • ¬(p∧q) = ¬p v¬q
  • ¬(pvq) = ¬p ∧ ¬qa

ÖRNEK

p → q ile ¬p v q önermelerini karşılaştırın.

ÇÖZÜM

p q ¬p p → q ¬p v q
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1

Görüldüğü üzere p → q = ¬p v q sonucuna ulaştık.

Bazı Önemli Noktalar;

Eşitliklerde sizleri kısa yoldan sonuca götürebilecek bir takım eşitlikler mevcuttur. Mantıksal olarak işleyelim;

P ∧ T = P

Bu işlemin sonucu her zaman p ne ise odur. Çünkü ve işleminde girdilerden biri TRUE iken diğeri FALSE olursa çıktı FALSE olacaktır. Eğer biri TRUE diğeri de TRUE ise sonuç TRUE olacaktır. Bu sebeple eğer p ifadesini TRUE ile VE işlemine sokarsak cevabımız P olacaktır.

P ∧ F = F

Bu işlemin sonucu her zaman FALSE çıkacaktır. Çünkü VE işleminde girdilerden birisi FALSE olduğu anda cevap FALSE olarak döner.

P v T = T

Bu işlemin sonucu her zaman TRUE çıkacaktır. Çünkü VEYA işleminde girdilerden birisi TRUE olduğu anda cevap TRUE olarak döner.

P v F = P

Bu işlemin sonucu her zaman p ne ise odur. Çünkü ve işleminde girdilerden biri TRUE iken diğeri FALSE olursa çıktı FALSE olacaktır. Eğer biri TRUE diğeri de TRUE ise sonuç TRUE olacaktır. Bu sebeple eğer p ifadesini TRUE ile VE işlemine sokarsak cevabımız P olacaktır.

P v ( R  S ) = ( P v R )  ( P v S )

P ifadesini R VE S ifadesi ile VEYA işlemine soktuğumuzda çıktımız eşitliğin sağ tarafındaki gibi olacaktır. Burada bir anlamda dağılma özelliğini uygularken işaretlere dikkat edin!

P ∧ ( R v S ) = ( P ∧ R ) v ( P ∧ S )

P ifadesini R VEYA S ifadesi ile VE işlemine soktuğumuzda çıktımız eşitliğin sağ tarafındaki gibi olacaktır. Burada bir anlamda dağılma özelliğini uygularken işaretlere dikkat edin!

P v ( P ∧ R ) = P

P ifadesini 1 ile VE işlemine alırsak işlemin sonucu yine P çıkar. Bu sebeple alalım:
(P ∧ 1) v ( P ∧ R )
Şimdi tekrar incelersek P ortak parantezine alabiliriz:
P ∧ ( 1 v R )
İşlemimizin bu basamağında VEYA işlemine dikkat edelim. VEYA işleminin olduğu yerde eğer 1 yani TRUE ibaresi varsa sonucumuz her zaman 1'dir. Yani;
P ∧ 1
Son adımımızda VE işlemini görüyoruz. VE işlemini 1 yani TRUE ibaresi ile işleme soktuğumuzda cevabımız P gelecektir.

P ∧ ( P v R ) = P

P ifadesini 0 ile VEYA işlemine alırsak işlemin sonucu yine P çıkar. Bu sebeple alalım:
(P v 0) ∧ ( P v R )
Şimdi tekrar incelersek P ortak parantezine alabiliriz:
P v ( 0 ∧ R )
İşlemimizin bu basamağında VE işlemine dikkat edelim. VE işleminin olduğu yerde eğer 0 yani FALSE ibaresi varsa sonucumuz her zaman 0'dır. Yani;
P v 0
Son adımımızda VEYA işlemini görüyoruz. VEYA işlemini 0 yani FALSE ibaresi ile işleme soktuğumuzda cevabımız P gelecektir.

P ∧ ¬P = F

P ifadesini kendisinin tersi ile VE işlemine sokmak demek bir anlamda 0 ile 1'i veya 1 ile 0'ı VE işlemine sokmak demektir. Bu sebeple 0 ∧ 1 ve 1 ∧ 0 işlemlerinin sonucu her zaman 0 olacağı için sonucumuz FALSE döner.

P v ¬P = T

P ifadesini kendisinin tersi ile VEYA işlemine sokmak demek bir anlamda 0 ile 1'i veya 1 ile 0'ı VEYA işlemine sokmak demektir. Bu sebeple 0 v 1 ve 1 v 0 işlemlerinin sonucu her zaman 1 olacağı için sonucumuz TRUE döner.

P → Q =¬P v Q

P v Q =¬P → Q

Gerçeklenebilir Önermeler

Harflere atanmış bir takım önermeler düşünün. Bu önermelerin sonucunda yapılan doğruluk tablosundaki sonuç sütununda bir adet dahi olsa TRUE değerine sahip isek bu önerme gerçeklenebilir önerme olarak adlandırılır. Fakat bunun aksine tamamen FALSE dönen bir önerme gerçeklenemez önerme olarak kabul edilir.

Aşağıda bir gerçeklenebilir önermenin doğruluk tablosu bulunmaktadır. (Önerme: ( ( p v¬q ) ∧ ( q v¬p ) ) ∧ ( r v¬p ) )

p q r ¬p ¬q ¬r p v¬q q v¬p r v¬p ( p v¬q ) ∧ ( q v¬p ) ( ( p v¬q ) ∧ ( q v¬p ) ) ∧ ( r v¬p )
 0   0   0  1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1

Çıktımızda 3 adet 1 yani TRUE sonucumuz olduğu için gerçeklenebilir.

YORUMLAR 0
Bu konuya henüz kimse yorum yapmadı.
İlk yorumu sen yapmak ister misin?
YORUM BIRAK
Şuanda bu yoruma cevap yazıyorsunuz:
İptal Et